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메타모르포제 제4대 황제
김민지
Schöner teich | Kim minji

출생

738년 7월 17일 (21세)

프랑스구 브레스트자치시 셍듀흐방구역
(現 프랑스특별상급자치시 브레스트특례자치시
셍듀흐방1구역)

재임기간

제4대 황제

746년 11월 27일 ~ 현재

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부모	아버지 어머니
배우자
자녀
종교
학력
소속 정당
의원 선수
의원 대수

개요

수학 발견

$\frac{1}{π} = \frac{2 \sqrt{2}}{9 9^{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4 k)! (1103 + 26390 k)}{(k!)^{4} 39 6^{4 k}}$ 원주율 산출을 위한 공식 정의 (원주율 산출 방식 발견, 742년)

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ 함수의 정의역 속 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비 정의 (미분의 발견, 744년)

함수 $f$ 의 정의역에 속하는 어떤 한 점 $x$ 에 다음 극한값 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ 가 존재할때 이 극한값을 $f$ 의 도함수라 하며 기호 $y^{'}$ , $f^{'} (x)$ , $\frac{d y}{d x}$ , $\frac{d}{d x} f (x)$ , $f^{(1)} (x)$ , $\dot{y}$ 등으로 나타낸다. 단변수 함수의 도함수 정의 (도함수의 발견, 744년)

$\frac{d}{d x} F (x) = f (x)$ 적분이 미분의 역연산임을 증명 (적분의 증명, 749년)

$\int f (x) d x = F (x) + c o n s t .$ 적분상수의 발견 (적분의 추가 증명, 749년)

닫힌 구간 $[a, b]$ 에서 유계인 함수 $f (x)$ 를 생각해보자. 이때, 구간 $[a, b]$ 를 $n$ 등분하여 $a$ 부터 $b$ 까지의 각 분할점을 $a = x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n} = b$ 라 하자. 여기서 $1 \leq k \leq n$ 인 각각의 자연수 $k$ 에 대하여 $x_{k - 1} \leq x_{k}$ 가 성립한다고 하자. 이때, 각 소구간 $[x_{k - 1}, x_{k}]$ 에서 해당 구간의 오른쪽 끝점 $x_{k} = a + k Δ x$ 와 $Δ x = \frac{b - a}{n}$ 에 대하여 다음의 합을 정의하자. $\begin{aligned} R_{n} & = \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) Δ x \\ = \sum_{k = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} k) \frac{b - a}{n} \end{aligned}$ 이것을 예로 들어 레몬 오른쪽 합이라 하겠다. 비슷하게 각 소구간의 왼쪽 끝점 $x_{k - 1}$ 에 대하여 다음과 같이 레몬 왼쪽 합을 정의할 수 있을 것이다. $\begin{aligned} L_{n} & = \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k - 1}) Δ x \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (x_{k}) Δ x \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (a + \frac{b - a}{n} k) \frac{b - a}{n} \end{aligned}$ $n \to \infty$ 의 극한을 취하면 $\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} L_{n} = \lim_{n \to \infty} R_{n} = S \end{aligned}$ 가 성립한다. 곧, '레몬 왼쪽 합과 레몬 오른쪽 합의 극한은 일치한다.' 라는 결론이 나올것이다 이를 $\begin{aligned} S = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{aligned}$ 로 쓰고 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f (x)$ 의 정적분이라 정의하며, 기호 $\int$ 은 인티그럴 또는 인테그랄이라 읽는다. 또한 $a$ , $b$ 를 각각 하한(아래끝), 상한(위끝)이라 한다. 일반적으로 무한히 분할했을 때 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합은 같게 되는데 이를 초등적으로 증명하여 보자. 두 합의 차는 $\begin{aligned} R_{n} - L_{n} & = \sum_{k = 1}^{n} {f (x_{k}) - f (x_{k - 1})} Δ x \\ = {f (x_{n}) - f (x_{0})} Δ x \\ = \frac{(b - a) {f (b) - f (a)}}{n} \end{aligned}$ 이고, $n \to \infty$ 일 때 분자는 결국 상수여서 $R_{n} - L_{n} \to 0$ 이므로 $L_{n}$ , $R_{n}$ 은 같은 값으로 수렴한다. 이것을 구간 내 함숫값이 양인 경우에 한하여 시각화하면 아래 와 같다. 적색 영역은 레몬 오른쪽 합과 레몬 왼쪽 합의 오차를 나타낸 것이다. 부정적분과 정적분의 차이를 증명 (정적분의 발견, 752년)

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+{{목차}}
+== 개요 ==
+== 수학 발견 ==
+{{인용문|<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103 + 26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math><br><br>원주율 산출을 위한 공식 정의 '''(원주율 산출 방식 발견, 742년)'''}}
+{{인용문|<math>\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math><br><br>함수의 정의역 속 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비 정의 '''(미분의 발견, 744년)'''}}
+{{인용문|함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 한 점 <math>x</math>에 다음 극한값 <math>\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>가 존재할때 이 극한값을 <math>f</math>의 도함수라 하며 기호 <math>y'</math>, <math>f'(x)</math>, <math>\displaystyle \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}</math>, <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)</math>, <math>f^{(1)}(x)</math>, <math>\dot{y}</math> 등으로 나타낸다.<br><br> 단변수 함수의 도함수 정의 '''(도함수의 발견, 744년)'''}}
+{{인용문|<math>\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}F(x) = f(x)</math><br><br>적분이 미분의 역연산임을 증명 '''(적분의 증명, 749년)'''}}
+{{인용문|<math>\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x = F(x) + \mathsf{const.}</math><br><br>적분상수의 발견 '''(적분의 추가 증명, 749년)'''}}
+{{인용문|닫힌 구간 <math>[a, b]</math>에서 유계인 함수 <math>f(x)</math>를 생각해보자. 이때, 구간 <math>[a, b]</math>를 <math>n</math>등분하여 <math>a</math>부터 <math>b</math>까지의 각 분할점을 <math>a=x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>x_n = b</math>라 하자. 여기서 <math>1 \le k \le n</math>인 각각의 자연수 <math>k</math>에 대하여 <math>x_{k-1} \le x_k</math>가 성립한다고 하자.
+이때, 각 소구간 <math>[x_{k-1}, x_k]</math>에서 해당 구간의 오른쪽 끝점 <math>x_k = a +k\Delta x</math>와 <math>\Delta x = \dfrac{b-a}n</math>에 대하여 다음의 합을 정의하자.
+<center>
+<math>\begin{aligned}
+R_n &= \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x \\
+&= \sum_{k=1}^n f\!\left(a +\frac{b-a}n k \right) \frac{b-a}n
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+</center>
+이것을 예로 들어 '''레몬 오른쪽 합'''이라 하겠다. 비슷하게 각 소구간의 왼쪽 끝점 <math>x_{k-1}</math>에 대하여 다음과 같이 '''레몬 왼쪽 합'''을 정의할 수 있을 것이다.
+<center>
+<math>\begin{aligned}
+L_n &= \sum_{k=1}^n f(x_{k-1})\Delta x \\
+&= \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x \\
+&= \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a +\frac{b-a}n k \right) \frac{b-a}n
+\end{aligned}</math>
+</center>
+<math>n\to\infty</math>의 극한을 취하면
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+<math>\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} L_n = \lim_{n\to\infty} R_n = S \end{aligned}</math>
+</center>
+가 성립한다. 곧, ''''레몬 왼쪽 합과 레몬 오른쪽 합의 극한은 일치한다.'''' 라는 결론이 나올것이다 이를
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+<math>\begin{aligned} S = \int_a^b f(x) \,{\rm d}x \end{aligned}</math>
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+로 쓰고 구간 '''<math>\boldsymbol{[a, b]}</math>에서의 함수 <math>\boldsymbol{f(x)}</math>의 정적분'''이라 정의하며, 기호 <math>\displaystyle\int</math>은 인티그럴 또는 인테그랄이라 읽는다. 또한 <math>a</math>, <math>b</math>를 각각 '''하한(아래끝)''', '''상한(위끝)'''이라 한다.
+일반적으로 무한히 분할했을 때 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합은 같게 되는데 이를 초등적으로 증명하여 보자. 두 합의 차는
+<center>
+<math>\begin{aligned}
+R_n - L_n &= \sum_{k=1}^n \{ f(x_k)-f(x_{k-1}) \} \Delta x \\
+&= \{ f(x_n)-f(x_0) \} \Delta x \\
+& = \dfrac{(b-a)\{ f(b)-f(a) \}}n
+\end{aligned}</math>
+</center>
+이고, <math>n\to\infty</math>일 때 분자는 결국 상수여서 <math>R_n - L_n \to 0</math>이므로 <math>L_n</math>, <math>R_n</math>은 같은 값으로 수렴한다. 이것을 구간 내 함숫값이 양인 경우에 한하여 시각화하면 아래 와 같다. 적색 영역은 레몬 오른쪽 합과 레몬 왼쪽 합의 오차를 나타낸 것이다.<br><br>부정적분과 정적분의 차이를 증명 '''(정적분의 발견, 752년)'''}}