김민지 (Oz)

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메타모르포제 제4대 황제 김민지 Schöner teich | Kim minji
출생	738년 7월 17일 (21세)
	프랑스구 브레스트자치시 셍듀흐방구역 (現 프랑스특별상급자치시 브레스트특례자치시 셍듀흐방1구역)
재임기간	제4대 황제
	746년 11월 27일 ~ 현재
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개요

메타모르포제 왕국과 메타모르포제 속령의 제4대 황제

메타모르포제 역사상 가장 어린 나이에 즉위한 군주이자 세계 역사상 가장 많은 국가를 통치하는 여왕이다.

수학 발견

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}$ 원주율 산출을 위한 공식 정의 (원주율 산출 방식 발견, 742년)

$\lim {}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$ 함수의 정의역 속 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비 정의 (미분의 발견, 744년)

함수 $f$의 정의역에 속하는 어떤 한 점 $x$에 다음 극한값 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$가 존재할때 이 극한값을 $f$의 도함수라 하며 기호 $y^{\prime }$, $f^{\prime }(x)$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$, $f^{(1)}(x)$, $\dot{y}$ 등으로 나타낸다. 단변수 함수의 도함수 정의 (도함수의 발견, 744년)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)=f(x)$ 적분이 미분의 역연산임을 증명 (적분의 증명, 749년)

$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+\mathsf{c}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{s}\mathsf{t}\mathsf{.}$ 적분상수의 발견 (적분의 추가 증명, 749년)

닫힌 구간 $[a,b]$에서 유계인 함수 $f(x)$를 생각해보자. 이때, 구간 $[a,b]$를 $n$등분하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 $a=x_0$, $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n=b$라 하자. 여기서 $1\le k\le n$인 각각의 자연수 $k$에 대하여 $x_{k-1}\le x_k$가 성립한다고 하자. 이때, 각 소구간 $[x_{k-1},x_k]$에서 해당 구간의 오른쪽 끝점 $x_k=a+k\mathrm{\Delta }x$와 $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$에 대하여 다음의 합을 정의하자. $\begin{array}{rl}{R}_n& =\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\mathrm{\Delta }x\\ & =\sum _{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n}\end{array}$ 이것을 예로 들어 레몬 오른쪽 합이라 하겠다. 비슷하게 각 소구간의 왼쪽 끝점 $x_{k-1}$에 대하여 다음과 같이 레몬 왼쪽 합을 정의할 수 있을 것이다. $\begin{array}{rl}{L}_n& =\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})\mathrm{\Delta }x\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)\mathrm{\Delta }x\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n}\end{array}$ $n\to \mathrm{\infty }$의 극한을 취하면 $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n=S\end{array}$ 가 성립한다. 곧, '레몬 왼쪽 합과 레몬 오른쪽 합의 극한은 일치한다.' 라는 결론이 나올것이다 이를 $\begin{array}{r}S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$ 로 쓰고 구간 $\mathit{[}\mathit{a},\mathit{b}\mathit{]}$에서의 함수 $\mathit{f}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{)}$의 정적분이라 정의하며, 기호 $\int$은 인티그럴 또는 인테그랄이라 읽는다. 또한 $a$, $b$를 각각 하한(아래끝), 상한(위끝)이라 한다. 일반적으로 무한히 분할했을 때 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합은 같게 되는데 이를 초등적으로 증명하여 보자. 두 합의 차는 $\begin{array}{rl}{R}_n-L_n& =\sum _{k=1}^n\{f(x_k)-f(x_{k-1})\}\mathrm{\Delta }x\\ & =\{f(x_n)-f(x_0)\}\mathrm{\Delta }x\\ & =\frac{(b-a)\{f(b)-f(a)\}}{n}\end{array}$ 이고, $n\to \mathrm{\infty }$일 때 분자는 결국 상수여서 $R_n-L_n\to 0$이므로 $L_n$, $R_n$은 같은 값으로 수렴한다. 이것을 구간 내 함숫값이 양인 경우에 한하여 시각화하면 아래 와 같다. 적색 영역은 레몬 오른쪽 합과 레몬 왼쪽 합의 오차를 나타낸 것이다. 부정적분과 정적분의 차이를 증명 (정적분의 발견, 752년)